О нарушенной Геделем гармонии в математике. Нестрогие рассуждения с «подменой понятий».

Гедель выявил нарушение определенной гармонии математики заключением и следствиями из своих теорем.

Один аспект такой гармонии математики (в определенном смысле связанный с доказательством) – непротиворечивость. Математика, в известном смысле, после выводов Геделя считается противоречивой.

Другой возможный аспект нарушенной гармонии, «полнота»: из-за этой противоречивости основания математики считаются неполными.

Если, однако, допустить, что доказательства Геделя противоречат, нарушают гармонию, а математика должна быть гармоничной по определению, то можно предположить, что доказательства являются, в некоем общем смысле, заблуждениями, основанными на неправомерных допущениях,  и из этого следовало бы принять положение: то, что в итоге вызывает противоречия, надо исключить. (Но понятно, что применение этого правила ко всем случаям, кроме противоречия в основаниях, выглядело бы догматизмом.)

Противоречие с гармонией у Геделя, и в этом есть уверенность, получилось вследствие неправомерных допущений: злоупотребления принципом математической общности («математической свободой»).

Но ведь, казалось бы, максимальная общность свидетельствует о полноте. Тогда, чтобы снять противоречие и восстановить гармонию, нужно стремиться, видимо, не к полноте, а посмотреть, что даст ограничение принципа общности; но сделать его применение избирательным (а кажущаяся «неполнота» будет неизбежной данью за поддержание гармонии). Такой вывод кажется надуманным, вздорным, но, не будем торопиться.

Каким, однако, образом эти рассуждения касаются доказательства теорем Геделя? Необходимая или предельная общность (универсальность), по представлениям Геделя, в подходе к доказательству одной из теорем выразилась в том, что Гедель применил заведомо неоднозначный по своим последствиям подход – самоссылочность или автореферентность цифрового кода: кодирование числами арифметических терминов и операций, описывающих и манипулирующих с  естественным, опять же, «цифровым кодом», но уже обычных натуральных чисел. (Надо отдать должное — в этом был определенный резон.) Но это может породить ситуацию, когда код, при формальных манипуляциях в выражениях, может «наступить себе на хвост» и оказаться в неоднозначном соответствии сам с собой — у Геделя это, возможно, ситуация, когда доказуема и истинность, и ложность некоего утверждения. (Например, один из случаев подобной автореферентности: какое понимание верно — «понимание собственного понимания» или «понимание собственного НЕпонимания»?)

Более наглядный пример. Представьте, что, для  пущей общности, вы решите ходить в ботинках (кроссовках) с развязанными шнурками (поскольку увязывание «ограничивает» нас, когда приходит пора освобождения от обуви).  При упомянутой ходьбе, в какой-то момент, вы можете наступить на свободный шнурок сопряженной ноги и упасть, в результате чего возникнет убеждение, что в наиболее «общем случае», стабильность хождения в обуви со шнурками неоднозначна («страдает дисгармонией» при смене фаз движения).  Последовательность отдельных движений оказывается замкнутой сама на себя, но с отрицательным знаком («отрицательной связью»), что и приводит к её расстройству.

Таким образом, когда мы организуем самоссылочность, самоприменимость, нужно всегда предварительно протестировать возможность возникновения инверсии следствий (рассогласования) в замкнутой цепочке моментов создаваемой самоссылочности.

Судя по обескураживающему результату, полученному Геделем, в его использующем автореферентность доказательстве возникло подобное рассогласование (доказательстве, касающемся конкретно оснований математики). Однако, можно утверждать, что не математика (или логика) противоречива, а доказательство построено без учета определенного фундаментального ограничения, накладываемого на абстрактные математические и логические рассуждения. Просто необходимость ограничений и недопустимость, в некоторых случаях, автореферентности нельзя выявить априори, поскольку зависят от конкретной ситуации, в которой реализуется автореферентность (и самоприменимость), смысла и «функциональности» используемых понятий. То есть, при замыкании подобных логическо-смысловых цепочек, должно возникать непротиворечивое свойство «автологичности». Тут же хотелось бы заметить, что непротиворечивая автологичность (самосогласованность) может служить свидетельством гармоничности.

Какое можно вывести заключение.

Если мы произвольно пользуемся математической свободой (или, в целом, свободой допущений в теоретических рассуждениях), то невольно вносим потенциальную дисгармонию в математическое знание или логику. (И парадокс лжеца  об этом же свидетельствует: «неверно, что эта фраза правдива»).

А может быть, как я предполагаю, высший принцип гармонии заключается в том, что само по себе всякое суждение или утверждение (мысль), а также явление и любое существующее само по себе образование (идеальной и материальной природы) должны быть самосогласованны, однозначны.