О нарушенной Геделем гармонии в математике. Нестрогие рассуждения с «подменой понятий».


Гедель выявил нарушение определенной гармонии математики заключением и следствиями из своих теорем.

Один аспект такой гармонии математики (в определенном смысле связанный с доказательством) – непротиворечивость. Математика, в известном смысле, после выводов Геделя считается противоречивой.

Другой возможный аспект нарушенной гармонии, «полнота»: из-за этой противоречивости основания математики считаются неполными.

Если, однако, допустить, что доказательства Геделя противоречат, нарушают гармонию, а математика должна быть гармоничной по определению, то можно предположить, что доказательства являются, в некоем общем смысле, заблуждениями, основанными на неправомерных допущениях,  и из этого следовало бы принять положение: то, что в итоге вызывает противоречия, надо исключить. (Но понятно, что применение этого правила ко всем случаям, кроме противоречия в основаниях, выглядело бы догматизмом.)


Противоречие с гармонией у Геделя, и в этом есть уверенность, получилось вследствие неправомерных допущений: злоупотребления принципом математической общности («математической свободой»).

Но ведь, казалось бы, максимальная общность свидетельствует о полноте. Тогда, чтобы снять противоречие и восстановить гармонию, нужно стремиться, видимо, не к полноте, а посмотреть, что даст ограничение принципа общности; но сделать его применение избирательным (а кажущаяся «неполнота» будет неизбежной данью за поддержание гармонии). Такой вывод кажется надуманным, вздорным, но, не будем торопиться.


Каким, однако, образом эти рассуждения касаются доказательства теорем Геделя? Необходимая или предельная общность (универсальность), по представлениям Геделя, в подходе к доказательству одной из теорем выразилась в том, что Гедель применил заведомо неоднозначный по своим последствиям подход – самоссылочность или автореферентность цифрового кода: кодирование числами арифметических терминов и операций, описывающих и манипулирующих с  естественным, опять же, «цифровым кодом», но уже обычных натуральных чисел. (Надо отдать должное — в этом был определенный резон.) Но это может породить ситуацию, когда код, при формальных манипуляциях в выражениях, может «наступить себе на хвост» и оказаться в неоднозначном соответствии сам с собой — у Геделя это, возможно, ситуация, когда доказуема и истинность, и ложность некоего утверждения. (Например, один из случаев подобной автореферентности: какое понимание верно — «понимание собственного понимания» или «понимание собственного НЕпонимания»?)

Более наглядный пример. Представьте, что, для  пущей общности, вы решите ходить в ботинках (кроссовках) с развязанными шнурками (поскольку увязывание «ограничивает» нас, когда приходит пора освобождения от обуви).  При упомянутой ходьбе, в какой-то момент, вы можете наступить на свободный шнурок сопряженной ноги и упасть, в результате чего возникнет убеждение, что в наиболее «общем случае», стабильность хождения в обуви со шнурками неоднозначна («страдает дисгармонией» при смене фаз движения).  Последовательность отдельных движений оказывается замкнутой сама на себя, но с отрицательным знаком («отрицательной связью»), что и приводит к её расстройству.

Таким образом, когда мы организуем самоссылочность, самоприменимость, нужно всегда предварительно протестировать возможность возникновения инверсии следствий (рассогласования) в замкнутой цепочке моментов создаваемой самоссылочности.


Судя по обескураживающему результату, полученному Геделем, в его использующем автореферентность доказательстве возникло подобное рассогласование (доказательстве, касающемся конкретно оснований математики). Однако, можно утверждать, что не математика (или логика) противоречива, а доказательство построено без учета определенного фундаментального ограничения, накладываемого на абстрактные математические и логические рассуждения. Просто необходимость ограничений и недопустимость, в некоторых случаях, автореферентности нельзя выявить априори, поскольку зависят от конкретной ситуации, в которой реализуется автореферентность (и самоприменимость), смысла и «функциональности» используемых понятий. То есть, при замыкании подобных логическо-смысловых цепочек, должно возникать непротиворечивое свойство «автологичности». Тут же хотелось бы заметить, что непротиворечивая автологичность (самосогласованность) может служить свидетельством гармоничности.


Какое можно вывести заключение.

Если мы произвольно пользуемся математической свободой (или, в целом, свободой допущений в теоретических рассуждениях), то невольно вносим потенциальную дисгармонию в математическое знание или логику. (И парадокс лжеца  об этом же свидетельствует: «неверно, что эта фраза правдива»).


А может быть, как я предполагаю, высший принцип гармонии заключается в том, что само по себе всякое суждение или утверждение (мысль), а также явление и любое существующее само по себе образование (идеальной и материальной природы) должны быть самосогласованны, однозначны.


Запись опубликована в рубрике Без рубрики. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Подписаться на комментарии к записи

4 комментария: О нарушенной Геделем гармонии в математике. Нестрогие рассуждения с «подменой понятий».

  1. невольно вносим потенциальную дисгармонию в математическое знание или логику.

    Если учесть, что предметом Логики (как научной дисциплины) является Мышление и его процесс, то невольно возникает вопрос: в каком отношении находится математическое знание и логика (в контексте процесса мышления)? Как можно преодолеть дисгармонию в логике?

    Цитировать
    • Прошу прощения за задержку; необходимо было подумать.

      Мне кажется, что математическое знание вторично по отношению к логике. Логика детерминирует построение математических структур. Математическое же знание тяготеет и исходит потенциально из «перечисления» и итерации.
      Логика рассматривает структуры отношений и связей; законы их построения и преобразования. Но специфика логики такова, что рассматривает только формальные аспекты; она не учитывает, не рассматривает отношения между формальной и содержательной стороной (смыслом и интерпретацией формальных выражений и их переменных).
      .
      Преодолеть дисгармонию можно, приняв соглашение, что если, с одной стороны, смысл или интерпретация математического или логического утверждения противоречат (возникает логико смысловое противоречие) его содержанию или форме или неоднозначны, с другой стороны, то оно должно признаваться некорректным, неестественным. (И никаким способом такое несоответствие разрешить не удастся.) Это определяется, на мой взгляд, спецификой нашего мира, в котором следствие и причина должны быть согласованы, сопряжены, а не находиться в парадоксальной (противоречивой) связи.
      .
      В этой связи, доказательство К. Геделя некорректно: выявило неоднозначность и должно быть признано, мягко говоря, «безрезультатным». То есть в том математическом «эксперименте», который Гедель как бы проделал, выяснилось, что в его случае нельзя было числа использовать как кодовые обозначения. У него коды, для которых применяются числа, указывают на числовые структуры и формы, в которых эти числа-коды, одинаковые по написанию с количествами как таковыми, но разные по смыслу могли появляться и интерпретироваться по-разному в зависимости от ситуации. Иными словами, в случае создания автореферентности (ссылочности на самое себя) искусственным путем, могут быть как согласующиеся, так и рассогласовывающиеся между собой выводы, заключения, следствия. С другой стороны, невозможно удержаться или исключить манипуляции смыслом числа: с одной стороны оно выглядит как код, с другой обозначает количество или, например, порядковый номер.
      .
      В следующем забавном сюжете происходит манипуляция содержанием монет одинаково номинала: с одной стороны они расцениваются персонажем раджей как идентичные, но с другой – как различные, в зависимости от принадлежности или нет хозяину.
      http://video.mail.ru/mail/kosfan49/MetaRealnost_forCycDtrmination/242.html

      В результате этих логических манипуляций, раджей достигается желанная цель: присваиваются чужие деньги. (Хотя по идее, как в случае с Геделем, он не смог бы сделать окончательного выбора: то ли вернуть слуге наугад любые, то ли оставить в своей казне, как неразличимые чужие от своих) .

      Цитировать
  2. В следующем забавном сюжете происходит манипуляция содержанием монет одинаково номинала: с одной стороны они расцениваются персонажем раджей как идентичные, но с другой – как различные, в зависимости от принадлежности или нет хозяину.

    А здесь уже затрагивается «содержание монет» в социальном контексте, в рамках которого затрагивается процесс мышления (предмет логики) раджи, которая уже никакого отношения не имеет к математике. В связи с этим и возникает вопрос: а какая логика мышления используется в рамках такой научной дисциплины, как СОЦИОЛОГИЯ в рамках Единой Науки – (Механика-Физика-Химия — Биология – Социология – Психология — Философия – Математика)? Неужели мыслительный процесс во всех этих научных дисциплинах различный (или имеет свои особенности на инвариантной основе)?

    Цитировать
  3. Это определяется, на мой взгляд, спецификой нашего мира, в котором следствие и причина должны быть согласованы, сопряжены, а не находиться в парадоксальной (противоречивой) связи.

    Как не парадоксально, но в «специфике нашего мира» есть как раз такой момент, когда «следствие» категорично и принципиально превосходит «причину». И они получаются «как бы несогласованными»…
    Отчасти, это зафиксировано в логике, как ее понимал Эвальд Ильенков, когда ввел в ее ячейку «противоречие» (на основе материала «Капитала»). Отчасти, это зафиксировано в Предельном формализме, в логике Целого, – как парадоксального развития идей и мысли в т.ч. и Ильенкова.

    Цитировать

Добавить комментарий